(1)f(x)定义域为（0，+∞）（1分）求导数，得f′（x）1xa1axx（2分）令f&39;(x)0x10x21a当01a时，f′（x）>0；当x>1a时，f′（x）∴f(x)的单调增区间为（01a）f(x)的单调减区间为（1a，+∞），（4分）因此，f(x)的极大值为f(1a)lna1+a，无极小值（5分）（2）∵函数f(x)在（1，+∞）是单调减函数，∴f′（x）1xa≤0在区间（1，+∞）上恒成立（7分）∵x>1，可得01x∴a≥1，即实数a的取值范围为1，+∞）（9分）（3）由（2）得当a1时，f(x)在（1，+∞）上单调递减，∴f(x)lnx(x1)，可得lnx1）（10分）令x1+12n，可得ln(1+12n)12n（11分）分别取n123，，n得ln(1+12)+ln(1+122)+ln(1+123)++ln(1+12n)12+122+123++12n112n即ln(1+12)(1+122)(1+123)（1+12n）可得（1+12）(1+122+)(1+123)（1+12n）成立
